[알고리즘] 제논의 역설 (Zeno’s Paradoxes)

🧠 제논의 역설 (Zeno’s Paradoxes)

"운동은 불가능하다?"
무한히 나눌 수 있다면, 우리는 절대 목적지에 도달할 수 없다?

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🏛️ 배경

• 고대 그리스 철학자 **제논(Zeno of Elea)**이 제시한 운동과 무한에 대한 역설들
• 총 9개쯤 알려져 있지만, 그중 특히 유명한 건 아래 두 개!

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🐢 1. 아킬레우스와 거북이

"아킬레우스는 거북이를 절대 따라잡을 수 없다?"

설정:

• 거북이는 아킬레우스보다 느리지만 먼저 출발함
• 아킬레우스가 출발했을 때, 거북이는 앞서 있음

논리:

1. 아킬레우스가 거북이 출발 지점까지 가는 동안,
   거북이는 조금 더 앞으로 감
2. 그 지점까지 아킬레우스가 또 가는 동안,
   거북이는 또 조금 앞으로 감
3. 이 과정을 무한히 반복하게 됨

→ 무한히 나아가야 하니, 절대 따라잡을 수 없다!?

🙃 직관적으로는 말이 안 되지만,
당시에는 **무한히 나누는 개념(극한)**이 없었기 때문에 받아들이기 어려웠던 주장

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🏃‍♂️ 2. 이분법 역설 (Dichotomy Paradox)

“목적지까지 가기 위해선 그 절반을 가야 하고, 그 절반의 절반도 가야 하고…”

논리:

• A지점에서 B지점으로 가려면,
  1. 먼저 절반 거리를 가야 함
  2. 또 절반의 절반을 가야 함
  3. 또 또 또… 무한히 나눌 수 있음
     → 무한히 많은 거리를 이동해야 하므로 도달 불가?!

🙃 하지만 우리가 실제로는 도달하고 있음!

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🤓 현대 수학의 반응: 극한(Limit) 개념

제논이 빠진 핵심은 바로 극한 개념!

예:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1

• 무한히 더해도 유한한 값에 수렴할 수 있음
• 따라서, 무한한 과정 ≠ 무한한 시간 or 거리

👉 우리는 무한한 과정을 유한 시간에 끝낼 수 있다!

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🧾 Pseudocode: 이분법 역설 시뮬레이션

plaintext

복사편집

Function reach_target(distance): total = 0 step = distance / 2 While step is greater than a small threshold: total += step step /= 2 return total

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🐍 Python 코드: 극한으로 도달 시뮬레이션

def reach_target(distance=1.0, threshold=1e-10):
    total = 0
    step = distance / 2
    steps = 0

    while step > threshold:
        total += step
        step /= 2
        steps += 1
        print(f"Step {steps}: Total moved = {total:.10f}, next step = {step:.10f}")

    print(f"\nTotal distance reached: {total:.10f} after {steps} steps")

# 실행
reach_target()

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💡 실행 결과 예시

Step 1: Total moved = 0.5000000000, next step = 0.2500000000  
Step 2: Total moved = 0.7500000000, next step = 0.1250000000  
...
Step 33: Total moved = 0.9999999995, next step = 0.0000000002  

Total distance reached: 0.9999999995 after 33 steps

→ 이론적으론 무한히 나누지만, 현실/컴퓨터에서는 33번 반복으로 거의 1에 도달!
→ 이것이 바로 제논의 역설을 해결하는 수학적 극한의 힘

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🌀 요약 정리

항목설명

제논의 역설	무한 분할로 인한 도달 불가능 주장
반박 방법	극한(Limit) 개념 도입
핵심 메시지	무한한 과정도 유한한 결과로 수렴할 수 있음
철학적 의미	직관이 틀릴 수 있고, 수학이 세상을 정리하는 방식